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基础公式回顾

面(体)积公式​

球表面积公式：S=4πR2S=4\pi\mathrm{R}^2

球体积公式：V=43πR3V=\frac43\pi\mathrm{R}^3

圆锥体积公式：V =13sh=\frac13sh (ss为圆锥底面积，hh为圆锥的高)

椭圆面积公式：S=πabS=\pi ab

扇形面积公式：S=12lr=12r2θS=\frac12 lr= \frac 12r^2\theta (其中ll为弧长，rr为半径，θθ为夹角(用ππ表示))

一元二次方程基础​

一元二次方程：

ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0(a\neq0)

根的公式:

x1,2=−b±b2−4ac2a\mathrm{x} _{1, 2}= \frac {- \mathrm{b} \pm \sqrt {\mathrm{b} ^2- 4\mathrm{ac}}}{2\mathrm{a} }

韦达定理:

 x1+x2=−ba{\text{ x}_{1}+ x_{2}= - \frac ba} x1x2=ca{\mathrm{x} _{1}x_{2}= \frac ca}

判别式： Δ=b2−4\Delta=\mathrm{b}^{2}-4ac ⟹{Δ>0,两个不等实根Δ=0,两个相等实根Δ<0,两个共轭的复根(无实根)\Longrightarrow\begin{cases}\Delta>0,\text{两个不等实根}\\\Delta=0,\text{两个相等实根}\\\Delta<0,\text{两个共轭的复根(无实根)}\end{cases}

抛物线:

y=ax2+bx+c 的顶点：(−b2a,c−b24a)y=\mathrm{ax}^2+bx+c \text{ 的顶点：}(-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}},c-\frac{\mathrm{b}^2}{4\mathrm{a}})

极坐标方程与直角坐标转换​

直角坐标化极坐标{x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θ⟹x2\begin{cases} \mathrm{x= \rho \cos \theta }\\ \mathrm{y= \rho \sin \theta }& \end{cases} \Longrightarrow x^2+ y2y^2= ρ2\rho ^2 极坐标化直角坐标：p2=x2+y2  ⟹  tan⁡θ=yx\mathfrak{p}^2=\mathfrak{x}^2+\mathfrak{y}^2\implies\tan\theta=\frac{\mathfrak{y}}{\mathfrak{x}}

切线与法线方程​

切线方程：y−y0x−x0=f′\frac {\mathrm{y- y_0}}{\mathrm{x- x_0}}= f^\prime( x0x_0) ,即y- y0y_0= f′f^\prime( x0x_0) ( x- x0x_0) 法 线 方 程 : y−y0x−x0=−1f′(x0){\text{法 线 方 程 : }\frac {\mathrm{y- y_{0}}}{\mathrm{x- x_{0}}}}= - \frac 1{\mathrm{f^{\prime }( x_{0}) }} ,即y- y0y_{0}= - 1f′(x0)(x−x0)\frac 1{\mathrm{f^{\prime }( x_{0}) }}\left ( x- x_{0}\right )

因式分解公式​

(a+b)n=∑k=0nCnkakbn−k=an+nan−1b+n(n−1)2!an−1b2+⋯+n(n−1)⋯(n−k+1)k!an−kbk+⋯+nabn−1+bn \mathrm{(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}=a^n+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-1}b^2+\cdots+\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}a^{n-k}b^k+\cdots+nab^{n-1}+b^n}

阶乘与双阶乘​

n!=1×2×3×...×=1\times2\times3\times...\timesn (规定0！=1) (2n)!!=2×4×6×...×(2)!!=2\times4\times6\times...\times(2n)=2n⋅)=2^\mathrm{n}\cdotn! (2n−1)!!=1×3×5...×(2-1)!!=1\times3\times5...\times(2n-1)

函数的奇偶性​

定义在[-a, a] 上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和： f(x)=12[f(x)−f(−x)]+12[f(x)+f(−x)]\mathrm f(\mathrm x)=\dfrac{1}{2}\left[\mathrm f(\mathrm x)-\mathrm f(-\mathrm x)\right]+\dfrac{1}{2}\left[\mathrm f(\mathrm x)+\mathrm f(-\mathrm x)\right]

排列组合​

Anm =n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)\mathrm A_\mathrm n^\mathrm m\:=\mathrm n(\mathrm n-1)(\mathrm n-2)\cdots(\mathrm n-\mathrm m+1)

=n!(n−m)!=\frac{\mathrm n!}{(\mathrm n-\mathrm m)!}

Cnm = Anmm! = n(n−1)⋯(n−m+1)m!\mathrm C_\mathrm{n}^\mathrm{m}\:=\:\frac{\mathrm A_\mathrm{n}^\mathrm{m}}{\mathrm m!}\:=\:\frac{\mathrm n(\mathrm n-1)\cdots(\mathrm n-\mathrm m+1)}{\mathrm m!}

=n!m!(n−m)!=\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{m}!(\mathrm{n}-\mathrm{m})!}

等差数列​

an =a1 +(n−1)dSn =na1 +n(n−1)2dn∈N∗Sn =n(a1+an)2\begin{aligned}&\mathrm{a_n~=a_1~+(n-1)d}\\&\mathrm{S_n~=na_1~+\frac{n(n-1)}2d}\quad\mathrm{n\in N^*}\\&\mathrm{S_n~=\frac{n(a_1+a_n)}2}\end{aligned}

等比数列​

an=a1⋅qn−1Sn=a1(1−qn)1−q(q≠1)\begin{aligned}&\mathrm{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\\&\mathrm{S_n=\frac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}\quad(q\neq1)}\end{aligned}

常用数列前n项和​

∑k=1nk=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2\mathrm{\sum_{k=1}^nk=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2}

∑k=1n(2k−1)=1+3+5+⋯+(2n−1)=n2\mathrm{\sum_{k=1}^n(2k-1)=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2}

∑k=1nk2=12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6\mathrm{\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6}

∑k=1nk3=13+23+33+⋯+n3=[n(n+1)2]2=(∑k=1nk)2\mathrm{\sum_{k=1}^nk^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{n(n+1)}2]^2=(\sum_{k=1}^nk)^2}

∑k=1nk(k+1)=1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3\mathrm{\sum_{k=1}^nk(k+1)=1\times2+2\times3+3\times4+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}}

∑k=1n1k(k+1)=11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=nn+1\mathrm{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}}

不等式(待补充)​